* Les probabilités conditionnelles de l'IA (2)

Un élève demande à une intelligence artificielle de lui proposer et de résoudre un exercice portant sur le calcul de probabilités à l'aide d'un tableau croisé avec un contexte scientifique. Voici ce que lui propose l'IA.

« Super idée ! Voici un exercice pédagogique complet dans un contexte scientifique (hors santé classique), avec un tableau croisé, des probabilités et une correction. 

Une équipe d’élèves de STL réalise une étude sur la qualité de l’air autour d’une usine. Sur \(300\) mesures effectuées :

• \(40\) mesures ont révélé une concentration élevée de particules fines (PM2.5) ;
• \(90\) mesures ont été faites en journée ;
• parmi les mesures en journée, \(20\) ont révélé une concentration élevée de particules ;
• parmi les mesures nocturnes, \(20\) ont également révélé une concentration élevée.
  

1. Compléter le tableau croisé suivant.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & \text{Concentration élevée} & \text{Concentration normale} & \quad\text{Total}\quad \\\hline\text{Mesure de jour} &&& \\\hline\text{Mesure de nuit} &&& \\\hline\text{Total} &&& \\\hline\end{array}\)

2. On choisit une mesure au hasard. On appelle :

• \(\text{E}\) l'événement : « la mesure a une concentration élevée » ;
  
• \(\text{J}\) l'événement : « la mesure a été prise de jour ».
  

Répondre aux questions suivantes en justifiant les calculs.
    a. Calculer \(P(\text{E}).\)
    b. Calculer \(P(\text{E} \cap \text{J})\).
    c. Calculer \(P(\text{E} \cup \text{J})\).
    d. Calculer \(P_\text{J}(\text{E})\).
    e. Calculer \(P_\text{E}(\text{J})\).

Voici la correction détaillée et rigoureuse de l'exercice, avec explication pas à pas. On se base sur le tableau croisé suivant.

1.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & \text{Concentration élevée} & \text{Concentration normale} & \text{Total} \\\hline\text{Mesure de jour} & 20 & 70 & 90 \\\hline\text{Mesure de nuit} & 20 & 190 & 210 \\\hline\text{Total} & 40 & 260 & 300 \\\hline\end{array}\)

2. a. On utilise la définition suivante pour les questions a. et b. 
Soit \(\text{A}\) un événement, on a : \(\boxed{P(\text{A})=\dfrac{\text{nombre d'issues qui réalisent A}}{\text{nombre total d'issues}}}\) 

Ainsi on a : \(P(\text{E}) = \dfrac{40}{300} = \dfrac{2}{15}\).
    b. Et \(P(\text{E} \cap \text{J}) = \dfrac{20}{300} = 0{,}066\).
    c. Pour cette question, on utilise la formule de la réunion de deux événements \(P(\text{E} \cup \text{J}) = P(\text{E}) + P(\text{J})\). Ainsi, on a :

\(P(\text{E} \cup \text{J}) = P(\text{E}) + P(\text{J}) = \dfrac{40}{300} + \dfrac{90}{300} = \dfrac{130}{300} = \dfrac{13}{30}=0{,}43\)   

    d. Pour les deux prochaines questions, on utilise la définition suivante : soit \(\text{A}\) et \(\text{B}\) deux événements tels que \(\text{Card}(\text{B})\neq0\). La probabilité conditionnelle de \(\text{B}\) sachant \(\text{A}\) est donnée par : \(\boxed{P_\text{A}(\text{B})=\dfrac{\text{Card}(\text{A}\cap \text{B})}{\text{Card}(B)}}\)

\(P_\text{J}(\text{E}) = \dfrac{20}{40} = 0{,}5\)

    e. \(P_\text{E}(\text{J}) = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9} =0{,}222\)

J'espère que cela t'a aidé à résoudre l'exercice ! »

1. L'élève est très surpris par rapport à plusieurs éléments du texte rédigé par l'IA. Déterminer les erreurs mathématiques commises et les corriger.
2. En s'appuyant sur la même idée de départ, écrire un exercice sur le calcul de probabilités, à l'aide d'un tableau croisé avec un contexte scientifique, et rédiger sa solution.